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# 1基本概念和符号

线性代数可以对一组线性方程进行简洁地表示和运算。例如，对于这个方程组:

$$4x_1 - 5x_2= -13$$

$$-2x_1 + 3x_2 = 9$$

这里有两个方程和两个变量，如果你学过高中代数的话，你肯定知道，可以为x1 和x2找到一组唯一的解 \(除非方程可以进一步简化，例如，如果第二个方程只是第一个方程的倍数形式。但是显然上面的例子不可简化，是有唯一解的\)。在矩阵表达中，我们可以简洁的写作:

$$Ax = b$$

其中：

$$A=\begin{bmatrix}
   4 & -5 \\
   -2 & 3
\end{bmatrix}$$             $$b=\begin{bmatrix}
   -13  \\
   9
\end{bmatrix}$$

很快我们将会看到，咱们把方程表示成这种形式，在分析线性方程方面有很多优势\(包括明显地节省空间\)。

## 1.1基本符号

以下是我们要使用符号:

* 符号
  _A_∈ R m×n
  表示一个m行n列的矩阵，并且矩阵A中的所有元素都是实数。
* 符号
  x ∈ Rn表示一个含有n个元素的向量。通常，我们把n维向量看成是一个n行1列矩阵，即列向量。如果我们想表示一个行向量（
  1行_n_列矩阵），我们通常写作_xT _\(_xT_表示x的转置，后面会解释它的定义\)。
* 一个向量x的第_i_个元素表示为xi：

$$b=\begin{bmatrix}
   x_1  \\
   x_2  \\
     . \\
     . \\
   x_n
\end{bmatrix}$$

* 我们用$$a_{ij}$$_ _\(或$$A_{ij}$$等\) 表示第_i_行第_j_列的元素：

$$A = \begin{bmatrix}
   a_{11} a_{12} ... a_{1n}  \\
   a_{21} a_{22} ... a_{2n}  \\
     . \\
     . \\
   a_{m1} a_{n2} ... a_{mn}
\end{bmatrix}$$

* 我们用$$a_j$$_ _表示A矩阵的第_j_列元素：

$$A = \begin{bmatrix}
  |    |   | \\
  a_1 a_2 a_3 \\
   |   |   |
\end{bmatrix}$$

* 我们用_aTi或Ai，:_表示矩阵的第i行元素  
  :

$$A = \begin{bmatrix}
  -- a_1^T -- \\
  -- a_2^T -- \\
     . \\
     . \\
   -- a_m^T --
\end{bmatrix}$$

* 请注意，这些定义都是不严格的（例如，_a1_和_a1T_在前面的定义中是两个不同向量）。通常使用中，符号的含义应该是可以明显看出来的。