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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[149. 直线上最多的点数](https://leetcode-cn.com/problems/max-points-on-a-line/solution/gong-shui-san-xie-liang-chong-mei-ju-zhi-u44s/)** ，难度为 **困难**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「数学」、「枚举」、「哈希表」 |
| 6 | + |
| 7 | +给你一个数组 points ，其中 points[i] = [xi, yi] 表示 X-Y 平面上的一个点。求最多有多少个点在同一条直线上。 |
| 8 | + |
| 9 | + |
| 10 | +示例 1： |
| 11 | + |
| 12 | +``` |
| 13 | +输入：points = [[1,1],[2,2],[3,3]] |
| 14 | +输出：3 |
| 15 | +``` |
| 16 | +示例 2： |
| 17 | + |
| 18 | +``` |
| 19 | +输入：points = [[1,1],[3,2],[5,3],[4,1],[2,3],[1,4]] |
| 20 | +输出：4 |
| 21 | +``` |
| 22 | + |
| 23 | +提示： |
| 24 | +* 1 <= points.length <= 300 |
| 25 | +* points[i].length == 2 |
| 26 | +* -$10^4$ <= xi, yi <= $10^4$ |
| 27 | +* points 中的所有点 互不相同 |
| 28 | + |
| 29 | +--- |
| 30 | + |
| 31 | +### 朴素解法（枚举直线 + 枚举统计） |
| 32 | + |
| 33 | +我们知道，两个点可以确定一条线。 |
| 34 | + |
| 35 | +因此一个朴素的做法是先枚举两条点（确定一条线），然后检查其余点是否落在该线中。 |
| 36 | + |
| 37 | +为了避免除法精度问题，当我们枚举两个点 $i$ 和 $j$ 时，不直接计算其对应直线的 `斜率`和 `截距`，而是通过判断 $i$ 和 $j$ 与第三个点 $k$ 形成的两条直线斜率是否相等（斜率相等的两条直线要么平行，要么重合，平行需要 $4$ 个点来唯一确定，我们只有 $3$ 个点，所以可以直接判定两直线重合）。 |
| 38 | + |
| 39 | +代码： |
| 40 | +```Java [] |
| 41 | +class Solution { |
| 42 | + public int maxPoints(int[][] ps) { |
| 43 | + int n = ps.length; |
| 44 | + int ans = 1; |
| 45 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 46 | + int[] x = ps[i]; |
| 47 | + for (int j = i + 1; j < n; j++) { |
| 48 | + int[] y = ps[j]; |
| 49 | + int cnt = 2; |
| 50 | + for (int k = j + 1; k < n; k++) { |
| 51 | + int[] p = ps[k]; |
| 52 | + int s1 = (y[1] - x[1]) * (p[0] - y[0]); |
| 53 | + int s2 = (p[1] - y[1]) * (y[0] - x[0]); |
| 54 | + if (s1 == s2) cnt++; |
| 55 | + } |
| 56 | + ans = Math.max(ans, cnt); |
| 57 | + } |
| 58 | + } |
| 59 | + return ans; |
| 60 | + } |
| 61 | +} |
| 62 | +``` |
| 63 | +* 时间复杂度：$O(n^3)$ |
| 64 | +* 空间复杂度：$O(1)$ |
| 65 | + |
| 66 | +--- |
| 67 | + |
| 68 | +### 优化（枚举直线 + 哈希表统计） |
| 69 | + |
| 70 | +根据「朴素解法」的思路，枚举所有直线的过程不可避免，但统计点数的过程可以优化。 |
| 71 | + |
| 72 | +具体的，我们可以先枚举所有可能出现的 `直线斜率`（根据两点确定一条直线，即枚举所有的「点对」），使用「哈希表」统计所有 `斜率` 对应的点的数量，在所有值中取个 $max$ 即是答案。 |
| 73 | + |
| 74 | +一些细节：在使用「哈希表」进行保存时，为了避免精度问题，我们直接使用字符串进行保存，同时需要将 `斜率` 约干净。 |
| 75 | + |
| 76 | +代码： |
| 77 | +```Java [] |
| 78 | +class Solution { |
| 79 | + public int maxPoints(int[][] ps) { |
| 80 | + int n = ps.length; |
| 81 | + int ans = 1; |
| 82 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 83 | + Map<String, Integer> map = new HashMap<>(); |
| 84 | + // 由当前点 i 发出的直线所经过的最多点数量 |
| 85 | + int max = 0; |
| 86 | + for (int j = i + 1; j < n; j++) { |
| 87 | + int x1 = ps[i][0], y1 = ps[i][1], x2 = ps[j][0], y2 = ps[j][1]; |
| 88 | + int a = x1 - x2, b = y1 - y2; |
| 89 | + int k = gcd(a, b); |
| 90 | + String key = (a / k) + "_" + (b / k); |
| 91 | + map.put(key, map.getOrDefault(key, 0) + 1); |
| 92 | + max = Math.max(max, map.get(key)); |
| 93 | + } |
| 94 | + ans = Math.max(ans, max + 1); |
| 95 | + } |
| 96 | + return ans; |
| 97 | + } |
| 98 | + int gcd(int a, int b) { |
| 99 | + return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); |
| 100 | + } |
| 101 | +} |
| 102 | +``` |
| 103 | +* 时间复杂度：枚举所有直线的复杂度为 $O(n^2)$；令坐标值的最大差值为 $m$，`gcd` 复杂度为 $O(\log{m})$。整体复杂度为 $O(n^2 * \log{m})$ |
| 104 | +* 空间复杂度：$O(n)$ |
| 105 | + |
| 106 | +--- |
| 107 | + |
| 108 | +### 最后 |
| 109 | + |
| 110 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.149` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。 |
| 111 | + |
| 112 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 113 | + |
| 114 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 115 | + |
| 116 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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