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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[406. 根据身高重建队列](https://leetcode.cn/problems/queue-reconstruction-by-height/solution/by-ac_oier-fda2/)** ，难度为 **中等**。 |
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| 5 | +Tag : 「排序」、「构造」、「二分」、「树状数组」 |
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| 8 | + |
| 9 | +假设有打乱顺序的一群人站成一个队列，数组 `people` 表示队列中一些人的属性（不一定按顺序）。每个 $people[i] = [h_i, k_i]$ 表示第 $i$ 个人的身高为 $h_i$ ，前面 正好 有 $k_i$ 个身高大于或等于 $h_i$ 的人。 |
| 10 | + |
| 11 | +请你重新构造并返回输入数组 `people` 所表示的队列。返回的队列应该格式化为数组 `queue` ，其中 $queue[j] = [h_j, k_j]$ 是队列中第 $j$ 个人的属性（$queue[0]$ 是排在队列前面的人）。 |
| 12 | + |
| 13 | +示例 1： |
| 14 | +``` |
| 15 | +输入：people = [[7,0],[4,4],[7,1],[5,0],[6,1],[5,2]] |
| 16 | +
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| 17 | +输出：[[5,0],[7,0],[5,2],[6,1],[4,4],[7,1]] |
| 18 | +
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| 19 | +解释： |
| 20 | +编号为 0 的人身高为 5 ，没有身高更高或者相同的人排在他前面。 |
| 21 | +编号为 1 的人身高为 7 ，没有身高更高或者相同的人排在他前面。 |
| 22 | +编号为 2 的人身高为 5 ，有 2 个身高更高或者相同的人排在他前面，即编号为 0 和 1 的人。 |
| 23 | +编号为 3 的人身高为 6 ，有 1 个身高更高或者相同的人排在他前面，即编号为 1 的人。 |
| 24 | +编号为 4 的人身高为 4 ，有 4 个身高更高或者相同的人排在他前面，即编号为 0、1、2、3 的人。 |
| 25 | +编号为 5 的人身高为 7 ，有 1 个身高更高或者相同的人排在他前面，即编号为 1 的人。 |
| 26 | +因此 [[5,0],[7,0],[5,2],[6,1],[4,4],[7,1]] 是重新构造后的队列。 |
| 27 | +``` |
| 28 | +示例 2： |
| 29 | +``` |
| 30 | +输入：people = [[6,0],[5,0],[4,0],[3,2],[2,2],[1,4]] |
| 31 | +
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| 32 | +输出：[[4,0],[5,0],[2,2],[3,2],[1,4],[6,0]] |
| 33 | +``` |
| 34 | + |
| 35 | +提示： |
| 36 | +* $1 <= people.length <= 2000$ |
| 37 | +* $0 <= h_i <= 10^6$ |
| 38 | +* $0 <= k_i < people.length$ |
| 39 | +* 题目数据确保队列可以被重建 |
| 40 | + |
| 41 | +--- |
| 42 | + |
| 43 | +### 构造 + 二分 + 树状数组 |
| 44 | + |
| 45 | +这是一道非常综合的题目。 |
| 46 | + |
| 47 | +首先根据双关键字排序：当「高度（第一维）」不同，根据高度排升序，对于高度相同的情况，则根据「编号（第二维）」排降序。 |
| 48 | + |
| 49 | +采取这样的排序规则的好处在于：**在从前往后处理某个 $people[i]$ 时，我们可以直接将其放置在「当前空位序列（从左往后统计的，不算已被放置的位置）」中的 $people[i][1] + 1$ 位（预留了前面的 $people[i][1]$ 个位置给后面的数）。** |
| 50 | + |
| 51 | +关于「空位序列」如图所示（黄色代表已被占用，白色代表尚未占用）： |
| 52 | + |
| 53 | + |
| 54 | + |
| 55 | +具体的，我们按照构造的合理性来解释双关键字排序的合理性，假设当前处理的是 $people[i]$： |
| 56 | + |
| 57 | +根据「高度」排升序，根据「编号」排降序：由于首先是根据「高度」排升序，因此当 $people[i]$ 被放置在「当前空位序列」的第 $people[i][1] + 1$ 之后，无论后面的 $people[j]$ 如何放置，都不会影响 $people[i]$ 的合法性：后面的数的高度都不低于 $people[i][0]$，无论放在 $people[i][1] + 1$ 前面还是后面都不会影响 $people[i]$ 的合法性。 |
| 58 | + |
| 59 | +同时对于高度（第一维）相同，编号（第二维）不同的情况，我们进行了「降序」处理，因此「每次将 $people[i]$ 放置在空白序列的 $people[i][1] + 1$ 位置的」的逻辑能够沿用。即 **对于「高度」相同「编号」不同的情况，会被按照「从右到左」依次放置，导致了每个 $people[i]$ 被放置时，都不会受到「高度」相同的其他 $people[j]$ 所影响。换句话说，当 $people[i]$ 放置时，其左边必然不存在其他高度为 $people[i][0]$ 的成员。** |
| 60 | + |
| 61 | +剩下的在于，如何快速找到「空白序列中的第 $k$ 个位置」，这可以通过「二分 + 树状数组」来做。 |
| 62 | + |
| 63 | +对于已被使用的位置标记为 $1$，未使用的位置为 $0$，那么第一个满足「$0$ 的个数大于等于 $k + 1$」的位置即是目标位置，在长度明确的情况下，求 $0$ 的个数和求 $1$ 的个数等同，对于位置 $x$ 而言（下标从 $1$ 开始，总个数为 $x$），如果在 $[1, x]$ 范围内有 $k + 1$ 个 $0$，等价于有 $x - (k + 1)$ 个 $1$，求解 $[1, x]$ 范围内 $1$ 的个数等价于求前缀和，即区间查询，同时我们每次使用一个新的位置后 ，需要对其进行标记，涉及单点修改，使用「树状数组」求解。 |
| 64 | + |
| 65 | +代码： |
| 66 | +```Java |
| 67 | +class Solution { |
| 68 | + int n; |
| 69 | + int[] tr; |
| 70 | + int lowbit(int x) { |
| 71 | + return x & -x; |
| 72 | + } |
| 73 | + void add(int x, int v) { |
| 74 | + for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += v; |
| 75 | + } |
| 76 | + int query(int x) { |
| 77 | + int ans = 0; |
| 78 | + for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i]; |
| 79 | + return ans; |
| 80 | + } |
| 81 | + public int[][] reconstructQueue(int[][] ps) { |
| 82 | + Arrays.sort(ps, (a, b)->{ |
| 83 | + if (a[0] != b[0]) return a[0] - b[0]; |
| 84 | + return b[1] - a[1]; |
| 85 | + }); |
| 86 | + n = ps.length; |
| 87 | + tr = new int[n + 1]; |
| 88 | + int[][] ans = new int[n][2]; |
| 89 | + for (int[] p : ps) { |
| 90 | + int h = p[0], k = p[1]; |
| 91 | + int l = 1, r = n; |
| 92 | + while (l < r) { |
| 93 | + int mid = l + r >> 1; |
| 94 | + if (mid - query(mid) >= k + 1) r = mid; |
| 95 | + else l = mid + 1; |
| 96 | + } |
| 97 | + ans[r - 1] = p; |
| 98 | + add(r, 1); |
| 99 | + } |
| 100 | + return ans; |
| 101 | + } |
| 102 | +} |
| 103 | +``` |
| 104 | +* 时间复杂度：排序的复杂度为 $O(n\log{n})$；共要处理 $n$ 个 $people[i]$，每次处理需要二分，复杂度为 $O(\log{n})$；每次二分和找到答案后需要操作树状数组，复杂度为 $O(\log{n})$。整体复杂度为 $O(n \times \log{n} \times \log{n})$ |
| 105 | +* 空间复杂度：$O(n)$ |
| 106 | + |
| 107 | +--- |
| 108 | + |
| 109 | +### 最后 |
| 110 | + |
| 111 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.406` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 112 | + |
| 113 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 114 | + |
| 115 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 116 | + |
| 117 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
| 118 | + |
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