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| 1 | +### 题目描述 |
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| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[312. 戳气球](https://leetcode.cn/problems/burst-balloons/solution/by-ac_oier-9r9c/)** ，难度为 **困难**。 |
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| 5 | +Tag : 「区间 DP」、「动态规划」 |
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| 9 | +有 `n` 个气球，编号为 `0` 到 `n - 1`，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 `nums` 中。 |
| 10 | + |
| 11 | +现在要求你戳破所有的气球。戳破第 `i` 个气球，你可以获得 `nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1]` 枚硬币。 这里的 `i - 1` 和 `i + 1` 代表和 `i` 相邻的两个气球的序号。 |
| 12 | + |
| 13 | +如果 `i - 1` 或 `i + 1` 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 `1` 的气球。 |
| 14 | + |
| 15 | +求所能获得硬币的最大数量。 |
| 16 | + |
| 17 | +示例 1： |
| 18 | +``` |
| 19 | +输入：nums = [3,1,5,8] |
| 20 | +
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| 21 | +输出：167 |
| 22 | +
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| 23 | +解释： |
| 24 | +nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> [] |
| 25 | +coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167 |
| 26 | +``` |
| 27 | +示例 2： |
| 28 | +``` |
| 29 | +输入：nums = [1,5] |
| 30 | +
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| 31 | +输出：10 |
| 32 | +``` |
| 33 | + |
| 34 | +提示： |
| 35 | +* $n = nums.length$ |
| 36 | +* $1 <= n <= 300$ |
| 37 | +* $0 <= nums[i] <= 100$ |
| 38 | + |
| 39 | +--- |
| 40 | + |
| 41 | +### 区间 DP |
| 42 | + |
| 43 | +定义 $f[l][r]$ 为考虑将 $(l, r)$ 范围内（不包含 `l` 和 `r` 边界）的气球消耗掉，所能取得的最大价值。 |
| 44 | + |
| 45 | +根据题意，我们可以对 `nums` 进行扩充，将其从长度为 $n$ 的 `nums` 变为长度 $n + 2$ 的 `arr`，其中 $arr[1...n]$ 对应了原数组 `nums`，而 $arr[0] = arr[n + 1] = 1$。 |
| 46 | + |
| 47 | +此时易知 $f[0][n + 1]$ 即是答案，不失一般性考虑 $f[l][r]$ 该如何转移，假设在 $(l, r)$ 范围内最后剩下的气球的编号为 $k$，此时的 $f[l][r]$ 由「以 $k$ 为分割点的两端所产生的价值」和「消耗 $k$ 本身带来的价值」两部分组成： |
| 48 | + |
| 49 | +$$ |
| 50 | +f[l][r] = \max(f[l][k] + f[k][r] + arr[l] \times arr[k] \times arr[r]), k \in (l, r) |
| 51 | +$$ |
| 52 | + |
| 53 | +为了确保转移能够顺利进行，我们需要确保在计算 $f[l][r]$ 的时候，区间长度比其小的 $f[l][k]$ 和 $f[k][r]$ 均被计算。 |
| 54 | + |
| 55 | +因此我们可以采用先枚举区间长度 `len`，然后枚举区间左端点 `l`（同时直接算得区间右端点 `r`）的方式来做。 |
| 56 | + |
| 57 | +Java 代码： |
| 58 | +```Java |
| 59 | +class Solution { |
| 60 | + public int maxCoins(int[] nums) { |
| 61 | + int n = nums.length; |
| 62 | + int[] arr = new int[n + 2]; |
| 63 | + arr[0] = arr[n + 1] = 1; |
| 64 | + for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1]; |
| 65 | + int[][] f = new int[n + 2][n + 2]; |
| 66 | + for (int len = 3; len <= n + 2; len++) { |
| 67 | + for (int l = 0; l + len - 1 <= n + 1; l++) { |
| 68 | + int r = l + len - 1; |
| 69 | + for (int k = l + 1; k <= r - 1; k++) { |
| 70 | + f[l][r] = Math.max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + arr[l] * arr[k] * arr[r]); |
| 71 | + } |
| 72 | + } |
| 73 | + } |
| 74 | + return f[0][n + 1]; |
| 75 | + } |
| 76 | +} |
| 77 | +``` |
| 78 | +TypeScript 代码： |
| 79 | +```TypeScript |
| 80 | +function maxCoins(nums: number[]): number { |
| 81 | + const n = nums.length |
| 82 | + const arr = new Array<number>(n + 2).fill(1) |
| 83 | + for (let i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1] |
| 84 | + const f = new Array<Array<number>>(n + 2) |
| 85 | + for (let i = 0; i < n + 2; i++) f[i] = new Array<number>(n + 2).fill(0) |
| 86 | + for (let len = 3; len <= n + 2; len++) { |
| 87 | + for (let l = 0; l + len - 1 <= n + 1; l++) { |
| 88 | + const r = l + len - 1 |
| 89 | + for (let k = l + 1; k <= r - 1; k++) { |
| 90 | + f[l][r] = Math.max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + arr[l] * arr[k] * arr[r]) |
| 91 | + } |
| 92 | + } |
| 93 | + } |
| 94 | + return f[0][n + 1] |
| 95 | +} |
| 96 | +``` |
| 97 | +* 时间复杂度：$O(n^3)$ |
| 98 | +* 空间复杂度：$O(n^2)$ |
| 99 | + |
| 100 | +--- |
| 101 | + |
| 102 | +### 最后 |
| 103 | + |
| 104 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.312` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 105 | + |
| 106 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 107 | + |
| 108 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 109 | + |
| 110 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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