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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[剑指 Offer 44. 数字序列中某一位的数字](https://leetcode.cn/problems/shu-zi-xu-lie-zhong-mou-yi-wei-de-shu-zi-lcof/solution/by-ac_oier-wgr8/)** ，难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「数学」、「模拟」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +数字以 `0123456789101112131415…` 的格式序列化到一个字符序列中。在这个序列中，第 $5$ 位（从下标 $0$ 开始计数）是 $5$，第 $13$ 位是 $1$，第 $19$ 位是 $4$，等等。 |
| 10 | + |
| 11 | +请写一个函数，求任意第 $n$ 位对应的数字。 |
| 12 | + |
| 13 | +示例 1： |
| 14 | +``` |
| 15 | +输入：n = 3 |
| 16 | +
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| 17 | +输出：3 |
| 18 | +``` |
| 19 | +示例 2： |
| 20 | +``` |
| 21 | +输入：n = 11 |
| 22 | +
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| 23 | +输出：0 |
| 24 | +``` |
| 25 | + |
| 26 | +限制： |
| 27 | +* $0 <= n < 2^31$ |
| 28 | + |
| 29 | +--- |
| 30 | + |
| 31 | +### 模拟 |
| 32 | + |
| 33 | +我们知道，对于长度为 $len$ 的数字的范围为 $[10^{len - 1}, 10^{len} - 1]$（共 $9 \times 10^{len - 1}$ 个），总长度为： |
| 34 | + |
| 35 | +$$ |
| 36 | +L = len \times 9 \times 10^{len - 1} |
| 37 | +$$ |
| 38 | + |
| 39 | +因此我们可以先对 $n$ 进行不断试减（更新 $n$），确定下来目标数字 $x$ 的长度为多少，假设为 $len$。 |
| 40 | + |
| 41 | +然后直接计算出长度 $len$ 的最小值为 $s = 10^{len - 1}$，由于范围内的数长度都是 $len$，因此我们可以直接定位到目标数字 $x$ 为何值。 |
| 42 | + |
| 43 | +根据目标值 $x$ 必然满足关系式： |
| 44 | + |
| 45 | +$$ |
| 46 | +(x - s + 1) \times len \geq n |
| 47 | +$$ |
| 48 | + |
| 49 | +变形可得： |
| 50 | + |
| 51 | +$$ |
| 52 | +x \geq \left \lfloor \frac{n}{len} \right \rfloor - 1 + s |
| 53 | +$$ |
| 54 | + |
| 55 | +对 $n$ 进行最后一次的试减（更新 $n$），若恰好有 $n = 0$，说明答案为 $x$ 的最后一位，可由 `x % 10` 取得；若大于 $0$，说明答案是 $x + 1$ 的第 $n$ 位（十进制表示，从左往右数），可由 `(x + 1) / (int) (Math.pow(10, len - n)) % 10` 取得。 |
| 56 | + |
| 57 | +代码： |
| 58 | +```Java |
| 59 | +class Solution { |
| 60 | + public int findNthDigit(int n) { |
| 61 | + int len = 1; |
| 62 | + while (len * 9 * Math.pow(10, len - 1) < n) { |
| 63 | + n -= len * 9 * Math.pow(10, len - 1); |
| 64 | + len++; |
| 65 | + } |
| 66 | + long s = (long) Math.pow(10, len - 1); |
| 67 | + long x = n / len - 1 + s; |
| 68 | + n -= (x - s + 1) * len; |
| 69 | + return n == 0 ? (int) (x % 10) : (int) ((x + 1) / Math.pow(10, len - n) % 10); |
| 70 | + } |
| 71 | +} |
| 72 | +``` |
| 73 | +* 时间复杂度：$O(\log{n})$ |
| 74 | +* 空间复杂度：$O(1)$ |
| 75 | + |
| 76 | +--- |
| 77 | + |
| 78 | +### 补充 |
| 79 | + |
| 80 | +上述讲解可能对于新手并不友好，尤其是对一些上来只做剑指 Offer 的面试向同学，下面使用更为通俗的方式进行讲解。 |
| 81 | + |
| 82 | +对于长度 `len` 的所有数，其最小值为 $10^{len - 1}$，最大值为 $10^{len} - 1$，每个数所能贡献的数的个数为 $len$ 个，因此对于长度为 `len` 的所有数，其所能贡献的数的个数为 $(10^{len} - 10^{len - 1}) \times len$。我们专门开一个函数 `getCnt` 来计算长度为 `len` 的数的个数有多少。 |
| 83 | + |
| 84 | +然后我们从 `len = 1` 开始，不断对 `n` 进行试减（`len` 递增），直到 `getCnt(len) <= n` 不再满足。 |
| 85 | + |
| 86 | +假设此时的递增到的长度为 `len`，可知长度为 `len` 的最小值 $start = 10^{len - 1}$，我们可以通过计算偏移量 $\left \lfloor \frac{n}{len} \right \rfloor$ 并将其累加到 $start$ 中去，同时对 `n` 进行 $\left \lfloor \frac{n}{len} \right \rfloor \times len$ 的消减。 |
| 87 | + |
| 88 | +然后根据 `n` 是否为 $0$ 进行分情况讨论： |
| 89 | + |
| 90 | +* 当 `n` 为 $0$，说明答案落在 $start - 1$ 的最后一位，即 `(start - 1) % 10` ； |
| 91 | +* 当 `n` 不为 $0$，说明答案为 `start` 数值中从左往右数的第 $n$ 位，可通过解法一的方式取得，也可以将其转字符串再通过下标获取。 |
| 92 | + |
| 93 | +代码： |
| 94 | +```Java |
| 95 | +class Solution { |
| 96 | + long getCnt(int len) { |
| 97 | + return (long)(Math.pow(10, len) - Math.pow(10, len - 1)) * len; |
| 98 | + } |
| 99 | + public int findNthDigit(int n) { |
| 100 | + int len = 1; |
| 101 | + while (getCnt(len) <= n) { |
| 102 | + n -= getCnt(len); |
| 103 | + len++; |
| 104 | + } |
| 105 | + long start = (long)Math.pow(10, len - 1); |
| 106 | + start += n / len; |
| 107 | + n -= n / len * len; |
| 108 | + if (n == 0) return (int)(start - 1) % 10; |
| 109 | + else return String.valueOf(start).toCharArray()[n - 1] - '0'; |
| 110 | + } |
| 111 | +} |
| 112 | +``` |
| 113 | +* 时间复杂度：$O(\log{n})$ |
| 114 | +* 空间复杂度：$O(1)$ |
| 115 | + |
| 116 | +--- |
| 117 | + |
| 118 | +### 最后 |
| 119 | + |
| 120 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.剑指 Offer 44` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 121 | + |
| 122 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 123 | + |
| 124 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 125 | + |
| 126 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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