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| 1 | +### 题目描述 |
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| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[878. 第 N 个神奇数字](https://leetcode.cn/problems/nth-magical-number/solution/by-ac_oier-ln3b/)** ，难度为 **困难**。 |
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| 5 | +Tag : 「数学」、「容斥原理」、「二分」、「gcd」、「lcm」 |
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| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +一个正整数如果能被 `a` 或 `b` 整除，那么它是神奇的。 |
| 10 | + |
| 11 | +给定三个整数 `n` , `a` , `b` ，返回第 `n` 个神奇的数字。因为答案可能很大，所以返回答案 对 $10^9 + 7$ 取模 后的值。 |
| 12 | + |
| 13 | +示例 1： |
| 14 | +``` |
| 15 | +输入：n = 1, a = 2, b = 3 |
| 16 | +
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| 17 | +输出：2 |
| 18 | +``` |
| 19 | +示例 2： |
| 20 | +``` |
| 21 | +输入：n = 4, a = 2, b = 3 |
| 22 | +
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| 23 | +输出：6 |
| 24 | +``` |
| 25 | + |
| 26 | +提示： |
| 27 | +* $1 <= n <= 10^9$ |
| 28 | +* $2 <= a, b <= 4 \times 10^4$ |
| 29 | + |
| 30 | +--- |
| 31 | + |
| 32 | +### 数学 |
| 33 | + |
| 34 | +#### 提示一 : 从题面分析常见做法，从常见做法复杂度出发考虑其他做法 |
| 35 | + |
| 36 | +若不看数据范围，只看题面，容易想到的做法是「多路归并」：起始使用两个指针指向 `[a, 2a, 3a, ... ]` 和 `[b, 2b, 3b, ...]` 的开头，不断比较两指针所指向的数值大小，从而决定将谁后移，并不断更新顺位计数。 |
| 37 | + |
| 38 | +该做法常见，但其复杂度为 $O(n)$，对于本题 $n = 1e9$ 来说并不可行。 |
| 39 | + |
| 40 | +确定线性复杂度的做法不可行后，我们考虑是否存在对数复杂度的做法。 |
| 41 | + |
| 42 | +#### 提示二 : 如何考虑常见的对数复杂度做法，如何定义二段性 |
| 43 | + |
| 44 | +题目要我们求第 $n$ 个符合要求的数，假设我们想要通过「二分」来找该数值，那么我们需要分析其是否存在「二段性」。 |
| 45 | + |
| 46 | +假设在所有「能够被 `a` 或 `b` 整除的数」形成的数轴上，我们要找的分割点是 `k`，我们期望通过「二分」来找到 `k` 值，那么需要定义某种性质，使得 `k` 左边的数均满足该性质，`k` 右边的数均不满足该性质。 |
| 47 | + |
| 48 | +不难想到可根据题意来设定该性质：小于 `k` 的任意数字 `x` 满足在 $[0, x]$ 范围数的个数不足 `k` 个，而大于等于 `k` 的任意数字 `x` 则不满足该性质。 |
| 49 | + |
| 50 | +#### 提示三 : 如何实现高效的 `check` 函数 |
| 51 | + |
| 52 | +当确定使用「二分」来做时，剩下问题转化为：**如何快速得知某个 $[0, n]$ 中满足要求的数的个数。** |
| 53 | + |
| 54 | +容易联想到「容斥原理」：**能被 `a` 或 `b` 整除的数的个数 = 能够被 `a` 整除的数的个数 + 能够被 `b` 整除的数的个数 - 既能被 `a` 又能被 `b` 整除的数的个数**。 |
| 55 | + |
| 56 | +$$ |
| 57 | +\left \lfloor \frac{n}{a} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{b} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{n}{c} \right \rfloor |
| 58 | +$$ |
| 59 | + |
| 60 | +其中 `c` 为 `a` 和 `b` 的最小公倍数。 |
| 61 | + |
| 62 | +求解最小公倍数 `lcm` 需要实现最大公约数 `gcd`，两者模板分别为： |
| 63 | + |
| 64 | +```Java [] |
| 65 | +int gcd(int a, int b) { |
| 66 | + return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); |
| 67 | +} |
| 68 | +int lcm(int a, int b) { |
| 69 | + return a * b / gcd(a, b); |
| 70 | +} |
| 71 | +``` |
| 72 | + |
| 73 | +#### 提示四 : 如何确定值域 |
| 74 | + |
| 75 | +一个合格的值域只需要确定答案在值域范围即可，因此我们可以直接定值域大小为 $1e20$。 |
| 76 | + |
| 77 | +或是根据 `a` 和 `b` 的取值来大致确定：假设两者中的较大值为 $m$，此时第 $n$ 个符合要求的数最大不会超过 $n \times m$，因此也可以设定值域大小为 $[0, 40000n]$。 |
| 78 | + |
| 79 | +Java 代码： |
| 80 | +```Java |
| 81 | +class Solution { |
| 82 | + int n, a, b, c; |
| 83 | + int gcd(int a, int b) { |
| 84 | + return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); |
| 85 | + } |
| 86 | + public int nthMagicalNumber(int _n, int _a, int _b) { |
| 87 | + n = _n; a = _a; b = _b; c = a * b / gcd(a, b); |
| 88 | + long l = 0, r = (long)1e20; |
| 89 | + while (l < r) { |
| 90 | + long mid = l + r >> 1; |
| 91 | + if (check(mid) >= n) r = mid; |
| 92 | + else l = mid + 1; |
| 93 | + } |
| 94 | + return (int)(r % 1000000007); |
| 95 | + } |
| 96 | + long check(long x) { |
| 97 | + return x / a + x / b - x / c; |
| 98 | + } |
| 99 | +} |
| 100 | +``` |
| 101 | +TypeScript 代码： |
| 102 | +```TypeScript |
| 103 | +function nthMagicalNumber(n: number, a: number, b: number): number { |
| 104 | + function gcd(a: number, b: number): number { |
| 105 | + return b == 0 ? a : gcd(b, a % b) |
| 106 | + } |
| 107 | + function check(x: number): number { |
| 108 | + return Math.floor(x / a) + Math.floor(x / b) - Math.floor(x / c) |
| 109 | + } |
| 110 | + const c = Math.floor(a * b / gcd(a, b)) |
| 111 | + let l = 0, r = 1e19 |
| 112 | + while (l < r) { |
| 113 | + const mid = Math.floor((l + r) / 2) |
| 114 | + if (check(mid) >= n) r = mid |
| 115 | + else l = mid + 1 |
| 116 | + } |
| 117 | + return r % 1000000007 |
| 118 | +} |
| 119 | +``` |
| 120 | +Python3 代码： |
| 121 | +```Python |
| 122 | +class Solution: |
| 123 | + def nthMagicalNumber(self, n: int, a: int, b: int) -> int: |
| 124 | + def gcd(a, b): |
| 125 | + return a if b == 0 else gcd(b, a % b) |
| 126 | + def check(x): |
| 127 | + return x // a + x // b - x // c |
| 128 | + c = a * b // gcd(a, b) |
| 129 | + l, r = 0, 1e20 |
| 130 | + while l < r: |
| 131 | + mid = (l + r) // 2 |
| 132 | + if check(mid) >= n: |
| 133 | + r = mid |
| 134 | + else: |
| 135 | + l = mid + 1 |
| 136 | + return int(r % 1000000007) |
| 137 | +``` |
| 138 | +* 时间复杂度：$O(\log{N})$，其中 $N = 1e20$ 为值域大小 |
| 139 | +* 空间复杂度：$O(1)$ |
| 140 | + |
| 141 | +--- |
| 142 | + |
| 143 | +### 最后 |
| 144 | + |
| 145 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.878` 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 146 | + |
| 147 | +在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 148 | + |
| 149 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 150 | + |
| 151 | +在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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